Das Eine sehen und dabei das Andere denken können

Vor hundert Jahren wurde Kurt Gödel geboren. 1931 veröffentlichte er seinen Unvollständigkeitssatz, der vereinfacht besagt: «Jedes System enthält Aussagen, die weder bewiesen noch widerlegt werden können.» Oder anders formuliert: «Wahr und beweisbar ist nicht dasselbe.» Damit liess Gödel die Grundfesten der Logik erzittern. Einmal mehr in der Geschichte der Mathematik war Umdenken angesagt. Auch wenn sich diese Wissenschaft durch Klarheit und Strenge auszeichnet, verlief der Weg dazu keineswegs immer gradlinig. Nachhaltige Entwicklungen wurden oft durch eigentliche Verwerfungen ausgelöst. – Die Einsicht, dass die Welt mit ganzzahligen Verhältnissen nicht zu fassen war, erschütterte in der Antike das harmonikale Weltbild der Pythagoreer. Das Beben wirkt bis in die Neuzeit nach: Wie ist damit umzugehen, dass zwischen zwei beliebigen Zahlen unendlich viele weitere Platz finden? – Ein anderes eindrückliches Beispiel: die grosse Revolution in der Geometrie im ersten Viertel des 19. Jahrhunderts: Die Möglichkeit, die Welt zu sehen, wie Euklid sie sah, und zugleich ganz andere Geometrien als die euklidische zu denken, zerfetzte eine zweitausendjährige Lehrtradition.

«Eine Wahrheit in der Wissenschaft wird fast immer zuerst geahnt, dann behauptet, dann umstritten und dann bewiesen. […] Noch später wird eine solche Wahrheit vielleicht klassisch, dann scheinbar trivial, dann entdeckt einer, dass sie problematisch ist, und schliesslich wird sie überholt. Der aber, der sie durch eine neue geahnte, behauptete, umstrittene, bewiesene Wahrheit überholt, der gewinnt meist den Blick dafür zurück, wie wenig selbstverständlich, wie genial die nun von ihm überwundene Erkenntnis war.»

C. F. v. Weizsäcker (Die Einheit der Natur)

Lernen geht grundsätzlich mit dem Umbauen und Erweitern von Konzepten einher. So geht es auch beim Mathematik-Lernen in allen Schuljahren immer wieder darum, Sachverhalte neu und anders zu sehen, Ordnungen und Strukturen umzubauen, einen anderen Standpunkt einzunehmen, neue Dimensionen zu entdecken und Altvertrautes unter veränderten Bedingungen oder in ungewohntem Kontext neu zu denken. Dabei sind sich Lehrpersonen des zu leistenden Perspektivenwechsels oft gar nicht bewusst, weil er ihnen selber leicht fällt. Die Versuchung ist darum gross, eine neue Sicht einfach zu postulieren, anstatt sie aus der alten entstehen zu lassen. Und weil die Lernenden nicht dazu kommen, den Perspektivenwechsel selber zu leisten, fehlt ihnen später eine ganzheitliche Sicht und die Möglichkeit, je nach Situation richtig zu differenzieren. Manch eine Schülerin könnte zum Beispiel Achsensymmetrie und Punktsymmetrie sicherer auseinanderhalten, manch ein Schüler würde direkte und umgekehrte Proportionalität weniger durcheinanderbringen, hätten sie mehr Gelegenheit gehabt, zu einem vertrauten Konzept eine Gegenposition aktiv aufzubauen.

Schon zehn Jahre bevor Kurt Gödel seinen ungeheuren Satz formuliert, lässt Hermann Hesse seinen Siddharta sagen: «Ich habe einen Gedanken gefunden, Govinda, den du wieder für Scherz oder für Narrheit halten wirst, der aber mein bester Gedanke ist. Er heisst: Von jeder Wahrheit ist das Gegenteil ebenso wahr! Nämlich so: Eine Wahrheit lässt sich immer nur aussprechen und in Worte hüllen, wenn sie einseitig ist. Einseitig ist alles, was mit Gedanken gedacht und mit Worten gesagt werden kann, alles einseitig, alles halb, alles entbehrt der Ganzheit, des Runden, der Einheit.»

Mathematikunterricht krankt oft an einer besonderen Einseitigkeit: der Einseitigkeit des Lehrerwissens. Ein lebendiger Unterricht braucht den Einbezug der «naiven» Standpunkte der Lernenden. Martin Wagenschein sagt darum: Der Mathematiker braucht einen Sinn für Strenge, wer Mathematik unterrichtet, braucht aber noch mehr. «Der Sinn für Strenge darf nicht verdrängen den Sinn für das Werden, auch und gerade dieser Strenge.» (M. Wagenschein: Verstehen lehren) – So ist, wer Mathematik unterrichtet, immer wieder aufgerufen, sein Wissen und sein Tun aus anderen Perspektiven wahrzunehmen: aus der historischen Perspektive des gewordenen Faches und aus der Perspektive der werdenden Mathematik in den Lernenden.

Weitere Beispiele für Perspektivenwechsel in der Mathematik finden Sie in der PDF-Version des Artikels.