Mathematik zum Tragen bringen

Kenntnisse und Fertigkeiten taugen nachschulisch nur, wenn sie flexibel anwendbar sind. Darum müssen sie immer wieder in Problemsituationen zum Einsatz kommen. Ein Kennzeichen guten Mathematikunterrichts – von der Basisstufe bis zum Ende der Schulzeit – ist die Problemorientiertheit.

«Problemlösefähigkeit» tritt als Richtziel in Mathematiklehrplänen auf. Das mag den Eindruck erwecken, es hand­le sich dabei um eine spezifisch mathematische Kompetenz. Dem ist natürlich nicht so. Aber gutes Problemlöseverhalten ist beim Bearbeiten mathematischer Probleme eine entscheidende Voraussetzung. Und in mathematischen Kontexten kann diese Kompetenz wirksam aufgebaut und nachhaltig trainiert werden. Dabei geht es – unabhängig vom Inhalt – vor allem um eine gute Problemlösekultur bei Lehrpersonen und Lernenden, wie sie im Grundlagenartikel beschrieben ist. Mathematikspezifisch kommen Zielsetzungen dazu, die zum Beispiel als Kompetenzaspekte bei HarmoS (EDK-Projekt zur Harmonisierung der Volksschule, der Lehrpläne und der Bildungsstandards) oder als Richtziele im mathbu.ch beschrieben sind.

Die «andere» Aufgabe
Ein Ziel des Mathematikunterrichts ist von Anfang an, eindeutig beantwortbare Fragen rasch und sicher zu beantworten: «5 plus 6 gleich 11.» «Sechzig Minuten sind eine Stunde.» «Der Umfang eines Rechtecks ist zweimal Länge und zweimal Breite.» – Elementare Kenntnisse eben.

Nicht weniger wichtig ist aber – auch von Anfang an! – die Zielsetzung, solch elementares Wissen in komplexen Situationen zum Tragen zu bringen. Weil es sonst nichts wert ist.

«Welche Zahl ist von 17 und 5 gleich weit weg?» – «Wie viel Zeit vergeht zwischen zwei Überdeckungen von Stunden- und Minutenzeiger?» – «Wie kann man ein Rechteck in zwei Teile zerlegen, so dass jeder Teil denselben Umfang hat wie das ursprüngliche Rechteck?»

Das Üben und Automatisieren von elementaren Kenntnissen und Fertigkeiten muss einhergehen mit der Behandlung von Fragestellungen abseits jeder Routine. Das braucht geeignete Aufgaben. Zum Beispiel solche, die an eine operative Grundhaltung appellieren («Was passiert, wenn ich …?»). Ein schönes Beispiel auf der Unterstufe ist die Problemstellung «die fünfte Zahl»:

1, 3, 4, 7, 11. (1 + 3 = 4, 3 + 4 = 7, 4 + 7 = 11).
Mit welchen beiden Startzahlen erhält man als fünfte Zahl 12?

Die folgende Problemstellung aus der Mittelstufe fokussiert das Explorieren:

Hypothesen bilden - explorieren - reflektieren - dokumentieren

Wie das vorangehende Beispiel zeigt, geht es beim Explorieren zuerst darum, mit einer gewissen Lockerheit den Sachverhalt «abzutasten» und aufgrund der ersten Ergebnisse eine Vermutung zu wagen. Das mag Schülerinnen und Schülern, die ein anderes Verständnis von Mathematik mitbringen, bereits schwerfallen. Als Nächstes muss zielloses «Trial and Error»-Verfahren mit Hilfe von Vermutungen weiterentwickelt werden zu zielorientiertem Ausloten. Hypothesen-Bilden ist eine wichtige Teilkompetenz der Problemlösefähigkeit. Ebenso wie das vollständige und verständliche Dokumentieren von Überlegungen. Gerade in der Aufbauphase sind ausführliche Protokolle wichtig, damit das Vorausdenken auf die Lösung (Hypothesenbildung) und das Nachdenken über die Lösung (Reflektieren) trainiert werden können. Aber umfangreiche Dokumente sind nicht ohne weiteres zu erhalten. Sie sind das Ergebnis eigentlicher Knochenarbeit – der Lernenden wie der Lehrenden. Nicht zuletzt darum ist das Symbol für Problemlöseaufgaben im mathbu.ch gut gewählt: Es zeigt die Extrembergsteigerin Eveline Binsack. Oroblemlöseprotokolle drücken persönliche Denkspuren aus. Mit ihnen muss sorgsam umgegangen werden. Rückmeldungen sollten insbesondere die Vollständigkeit und Verständlichkeit betreffen. Orthographie und Ästhetik sind keine primären Kriterien.

«4 # 1 = 15; 5 # 2 = 24; 6 # 3 = 30
Was bewirkt die Operation # ?»

Diese Aufgabe zielt auf die Hypothesenbildung. Aus drei Startbeispielen muss eine Vermutung abgeleitet werden. Aufgrund der Vermutung denken sich die Lernenden nächste Beispiele aus und erfragen bei der Lehrperson die entsprechenden Ergebnisse. Das wiederholt sich, bis die Operation aufgedeckt ist. Die folgende Seite zeigt Dokumente dazu aus dem zweiten, fünften und achten Schuljahr.

8. Klasse.Hypothesen bilden, reflektieren, argumentieren.

5. Klasse. Anfänge zur Hypothesenbildung - mit unterschiedlichen sprachlichen Voraussetzungen.

Die analoge Aufgabe in der 2. Klasse:

Gute Grundlagen zum Problemlösen im Mathematikunterricht und eine reiche Aufgabensammlung findet man in «Problemlösen macht Schule» von Beat Wälti-Scolari.

Wie die Beispiele zeigen, wird auch in einem problemorientierten Unterricht Basiswissen abgerufen und an den Basisfertigkeiten gearbeitet – zum Beispiel intensiv gerechnet. Dank dem immer wieder neuen Kontext wird aber dieses Grundwissen stärker vernetzt und dadurch flexibler einsetzbar. Und darüber hinaus werden Haltungen und Fähigkeiten geschult, die das Instrument Mathematik insgesamt breiter anwendbar machen.