Fehler und Fehleranalyse im Mathematikunterricht

Fehler – und dann?

Aus Fehlern lernen heisst, das gedankliche Konzept, das zum Fehler geführt hat, offenzulegen und zu überarbeiten. Die Reaktion der Lehrperson auf einen Fehler ist der erste Schritt dazu.

An der Wandtafel steht die Gleichung 2x – 4 = 20. Sie soll im Kopf gelöst werden. Alois meldet sich: «8.» Der Lehrer ruft Laura auf: «x ist 14.» Jetzt kommt Nils dran: «12.» Der Lehrer ist zufrieden. – Die ersten beiden Antworten sind objektiv falsch. Aber subjektiv sind sie richtig und daher für das Lernen wertvoll. Lernende machen höchst selten absichtlich Fehler. Im eigenen Denksystem ist die jeweilige Antwort korrekt. Darum enthält sie Informationen über die angestellten Überlegungen und damit einen Schlüssel zum Denken der Schülerin oder des Schülers. Nur: Wie kommt man an diese Information heran?

Nicht, indem man Fehler übergeht. Fehler soll man ernst nehmen und hinterfragen. Wenn das – zum Beispiel wegen der Unterrichtsdynamik – nicht sogleich möglich ist, dann jedenfalls später. Insbesondere systematische Fehler geben Aufschluss über das zugrunde liegende Konzept. Lernen heisst: Dieses Konzept verändern. Ob ein systematischer – im eigenen Konzept logischer – Fehler vorliegt, wird zum Beispiel an strukturgleichen Aufgaben sichtbar. So müsste Alois für die Gleichung 2x – 8 = 10 die Lösung «1» angeben und Laura die Lösung «13».

Auch das Notieren von Zwischenschritten kann Schwachstellen im Konzept offenlegen. Worin der Fehler wirklich besteht, wird den Lernenden aber vielleicht erst bewusst, wenn sie die Zwischenschritte beschreiben und dabei ihre Lösungszahl anstelle der Variablen x einsetzen. Alois Zwischenschritt ist 2x = 20 – 4. Auf der einen Seite der Gleichung addiert er 4, auf der anderen subtrahiert er 4. Wenn Alois seine Lösung einsetzt, steht da «2x 8 – 4 = 20». Fehleranalyse ist Knochenarbeit für Lehrende und Lernende. Aber ohne Fehleranalyse passieren die gleichen Fehler immer wieder.

Fehleranalyse beginnt mit der Reaktion auf einen Fehler. Sie entscheidet, ob ein Fehler «zugänglich wird». Die nachstehenden Beispiele möchten zur Beschäftigung mit möglichen Reaktionen auf Fehler und deren Auswirkungen einladen. Besonders ergiebig könnte es sein, sich im Team damit auseinanderzusetzen.

Oberstufe: Prozentrechnen

Gleich gross?: Auf die Reaktion der Lehrperson kommt es an.

Von 1995 bis 2000 wuchs die Einwohnerzahl einer Stadt um 10%. Von 2000 bis 2005 sank sie wieder um 10%. War die Einwohnerzahl 2005 höher oder tiefer als 1995?

Mögliche Reaktionen einer Lehrperson:

• Nein.
• Aber nur fast.
• Überleg noch mal!
• Bist du ganz sicher?
• Achtung, da ist eine Falle!
• Schau in den Lösungen nach!
• Wie würdest du das beweisen?
• Von welchem Grundwert gehst du aus?
• Drücke Zu- und Abnahme in Faktoren aus!
• Haben beide Teilrechnungen den gleichen Grundwert?
• 1995 waren es 100 000 Einwohner. Wie viele im Jahr 2000?
• Suche eine Anfangszahl, für die deine Antwort stimmen würde!
• Auf welches Vielfache wächst die Bevölkerung bei 10% Zunahme?
• Und wenn die Zu- und Abnahme 100% betragen würde?
• Rechne mit einer bestimmten Anfangszahl!
• Da sind wohl nicht alle einverstanden.
• Was meint deine Banknachbarin?
• Was hast du überlegt?
• Sei nicht albern!

1. Welche Reaktion scheint Ihnen am günstigsten, welche am ungünstigsten?
2. Wie würden Sie reagieren?
3. Welche Reaktionen zielen auf eine Auseinandersetzung mit dem zugrunde liegenden Konzept?
4. Welche Reaktion scheint Ihnen für starke Schülerinnen und Schüler geeignet, welche für schwache? – Von welchem Grundwert gehen Sie aus?

Die gleichen Übungen können Sie mit dem folgenden Beispiel machen.

Unterstufe: Kopfrechnen

Subjektiv richtig: Im eigenen Denksystem ist die jeweilige Antwort korrekt.

Wie viel ist 73 + 37?

• Fast.
• Warum?
• Bist du sicher?
• Wie viel ist 82 + 28?
• Wie viel ist 73 + 27?
• Rechne zuerst 70 plus 30!
• Wie viel fehlt von 73 bis 100?
• Ich bekomme nicht gleich viel.
• Kannst du das irgendwie überprüfen?

Soll aus einem Fehler gelernt werden, muss das dem Fehler zugrunde liegende Konzept überprüft und verändert werden. Das kann zum Beispiel durch eine «Belastung» des Konzeptes ausgelöst werden. Dabei wird ein Beispiel gezielt so gewählt, dass sich die begrenzte Gültigkeit der angestellten Überlegung zeigen muss.

Die Behauptung, «2,5 Stunden» sei gleichbedeutend mit «2 Stunden 50 Minuten» kann etwa mit der Frage «und 2,6 Stunden?» gekontert werden. Auch die Aufforderung, die beiden Grössen «2,5 Stunden» und «2 Stunden 50 Minuten» zu verdoppeln, könnte wertvolle Überlegungen auslösen. Bei der Prozentrechnung belastet zum Beispiel die Frage «Und wenn die Zu- und Abnahme 100 % betragen würden?» das Konzept deutlich: Eine Zunahme um 100 % ist eine Verdoppelung; nach einer Abnahme um 100 % ist nichts mehr vorhanden! Beim Kopfrechenbeispiel mag die Folgefrage «Wie viel ist 73 plus 27?» die erwünschte Irritation liefern. (Falls aber dann die Antwort «90» wäre, müssten auch noch die Rechnungen 73 + 17 und 73 + 7 gelöst werden.)

Die folgenden Behauptungen zu Inhalten verschiedener Schulstufen sind falsch. Überlegen Sie sich, welche Konzepte hinter den Fehlern stehen könnten.

• 20 · 30 = 60
• Die Hälfte von einem Sechstel ist ein Drittel.
• 0,99 + 0,01 = 0,1
• Es kommt auf dasselbe heraus, wenn ich eine Zahl zuerst verdopple und dann 5 addiere oder zuerst 5 addiere und das Ergebnis verdopple.
• 4cl + 1,6l = 2l
• Wenn ich bei einem Rechteck die Länge verdopple und die Breite verdreifache, wächst die Fläche auf das Fünffache.
• Die Wurzel aus 0,4 ist 0,2.
• Von 2 Flächen hat diejenige mit dem grösseren Flächeninhalt auch den grösseren Umfang.
• Wenn an einer Haltestelle alle 4 Minuten ein Bus und alle 6 Minuten ein Tram kommt, muss ich im Schnitt 5 Minuten warten, bis ich einsteigen kann.
• Wenn bei einem Zylinder der Radius und die Höhe verdoppelt werden, vervierfacht sich das Volumen.
• (a – b)² = a² – b²
• «Das durchschnittliche Haushalteinkommen beträgt 5970 Franken pro Monat» heisst, dass die Hälfte aller Haushalte monatlich mehr als 5970 Franken zur Verfügung hat.
• «Mindestens» schreibt man ≤
• Wenn ich den Benzinverbrauch um 20% senke, kann ich mit einer Tankfüllung 20% weiter fahren.
• Aus x2 = 2x folgt x = 2
• Es gibt kein Dreieck, das man in 3 dazu ähnliche Dreiecke zerlegen kann.

Könnte Ihnen eines der Beispiele auch in Ihrem Unterricht begegnen? Wie reagieren Sie? Wie könnten Sie das entsprechende Konzept in ergiebiger Weise belasten?